До 1952 года — Дурновский переулок. Это название возникло в XVIII веке по фамилии домовладельца майора А. И. Дурново. Затем к переулку были присоединены Собачья площадка и Собачий переулок, которые и сформировали Композиторскую улицу, доходившую до Серебряного переулка. Однако при прокладке Нового Арбата в 1960-х годах от улицы осталась лишь половина от Садового кольца до Трубниковского переулка. Названа улица так потому, что на ней располагалось правление Союза советских композиторов.

Композиторская улица начинается от Большого Николопесковского переулка, петляя проходит на запад, слева к ней примыкают Трубниковский и Малый Каковинский переулки, заканчивается на Садовом кольце на Новинском бульваре.

Дома располагаются только по левой, нечётной стороне. По правой стороне находятся дом 19/21 по Новому Арбату и дом 8 по Новинскому бульвару.