Достигнув одиннадцати лет, был отдан в Алатырское духовное училище (1856-1862), о котором у него сохранились довольно мрачные воспоминания “Теснота помещения была невероятная. Около сотни человек помещались в одной комнате о трех окнах”. После её окончания поступил в Симбирскую духовную семинарию, в ней, несмотря на бедность и скудность он был одним из первых, там же он впервые познакомился с сочинениями Державина, Карамзина, Пушкина.  

С ранних лет у Цветкова проявились самостоятельность в суждениях, способность к упорному труду, расчет на свои силы, упорство в продвижении к цели, тяга к знаниям. Ради этих целей он был готов на любые поступки. Бросив семинарию, он перешел в гимназию, для этого ему пришлось самостоятельно освоить несколько предметов.  Окончив гимназию в 1866 году Цветков обладая способностями к математике, рискнул принять участие в конкурсе проводимым Петербургским Технологическим Институтом. Победителю давалось право получить бесплатное высшее образование. Но из-за болезни легких, обусловленной климатом, он был вынужден оставить институт.

В 1869 году Цветков поступил в Московский Университет. В 1873 году защитил диссертацию на тему: “Интегрирование линейных уравнений с постоянными коэффициентами”. Ему предложили остаться в Университете для подготовки к профессорскому званию, но он отказался, т.к. хотел остаться “рабочим, частным человеком, а не сидеть в качестве чиновника на казенном окладе. Мне хотелось найти работу в каком-нибудь частном предприятии, полезном и прочном”.

В 1874 году он поступил в Московский Акционерный Земельный Банк, где проработал всю жизнь. В феврале 1875 года он пишет брату распорядок своего дня: “Встаю я в восемь тридцать утра, часам к десяти я в банке до двенадцати, в двенадцать я завтракаю и пью чай, потом до четырех и дольше, работаю. Домой прихожу часов в пять-шесть, сплю часов до восьми, и с девяти у меня начинается тот период дня, который я могу посвятить себе”.  Через год он работает в оценочной комиссии банка разъезжая по всей России. С 1895 года он - председатель оценочной комиссии банка. 

Подрабатывая в студенческие годы репетиторством в семье князя Гагарина, Цветков вместе с ней оказывается за границей, видит поразившие его музеи Берлина, Вены. В Москве начинает интересоваться многочисленными к тому времени частными собраниями и сам становится коллекционером.  В 1879 году Цветков купил на Арбате за 2 рубля хороший академический рисунок 1805 года  - «Сатурн» И.А. Акимова. Постепенно определилось пристрастие И. Е. Цветкова к картинам российских мастеров – он оказался первым коллекционером в Империи, обратившим пристальное внимание на важнейшее значение рисунка для характеристики творчества, и начал приобретать рисунки народных художников и тех художников-иностранцев, которые работали в России.



  

Вначале Цветков собирал только рисунки – они были сравнительно недороги. В 1881 году он приобрел первую картину - «Сказитель былин Никита Богданов» В.Д. Поленова. Особенно сложилась дружба у И.Е. Цветкова с живописцем-жанристом В.Маковским (73 работы Владимира Маковского было в коллекции Цветкова). Вместительная квартира в центре Москвы (Кривоарбатский переулок, дом 5, не сохранился) становится местом притяжения для многих художников. Она была всегда открыта и для знакомых, и для совершенно незнакомых любителей искусства, проявляющих желание увидеть собрание. Но количество экспонатов постоянно росло, и Цветков задумывает строительство специального музейного здания. 

Он особенно тщательно и расчетливо выбирает место для него. Пречистенская набережная с панорамой Кремля и реки, не загроможденной никакими строениями, представлялась наиболее удачной. Кстати, рядом с ней зажглись первые в Москве электрические фонари. Кругом располагались владения богатейших московских купцов. Осенью 1898 года И. Е. Цветков приобрел за 14 тысяч рублей «пустопорожнее место» на берегу Москвы – реки,  в прошлом принадлежавшее семье Нащокиных, добрых знакомцев Пушкина, и сам составил план внутренней планировки здания, полностью подчиненную музейным целям. Фасадную же его часть оформляет Виктор Васнецов.

В 1903 году строительство, которое обошлось хозяину в 96 тысяч рублей, было завершено и набережную Москвы-реки украсил двухэтажный сказочный терем (Пречистенская набережная, дом 29). Техническую часть проекта и самого строительства новой галереи обеспечивал знаменитый мастер московского модерна архитектор Л.Н.Кекушев.

"Теремок на набережной"  сразу же был открыт для бесплатных посещений. Московские меценаты считали честью для себя именно бесплатно все делать для москвичей, ни при каких обстоятельствах не превращать искусство в источник наживы и коммерческих предприятий. Один из современников рассказывает о посещении галереи: "Когда вы входили в вестибюль, навстречу появлялся сам Иван Евменьевич и ожидал вас на площадке лестницы, ведущей на второй этаж... Вечером хозяин зажигал электрический свет в люстрах второго этажа, показывал гостю свою галерею и давал объяснения. У него была хорошая память, и он знал всю родословную каждого художника начиная с петровского времени".

В 1901, а затем в 1903 и 1904 годах И.Е. Цветков избирался председателем Московского общества любителей художеств (членом которого стал еще в 1882 году).

В 1904 г. он издал каталог своей коллекции «Перечень картин и рисунков собрания И. Е. Цветкова». Иван Евменьевич входил в состав совета Третьяковской галереи, стал действительным членом Императорской Академии художеств. В день своего рождения, 28 апреля 1909 г., Цветков предложил Городской думе принять в дар его собрание вместе с домом и большой библиотекой по искусству. При передаче в галерее было около 300 живописных полотен и 1200 графических листов. Цветков оговорил для себя пожизненное пользование собранием, продолжал хранить и пополнять его до самой кончины. По перечню 1915 г. было уже 410 картин, 1373 листа графики и 36 скульптур. 

И.Е. Цветков умер  16 февраля 1917 года и похоронен на Ваганьковском кладбище.