Александр Сергеевич Пучков родился 10 (23) августа 1887 года в Москве в семье врача и общественного деятеля Сергея Васильевича Пучкова. В 1906 году окончил 4-ю Московскую гимназию, после чего поступил на медицинский факультет Московского университета. В 1911 году окончил Московский университет со званием «лекарь с отличием». Работал в городских больницах в качестве врача-экстерна. В 1912 году сдаёт экзамен на звание «доктор медицины»

В 1914 году после начала Первой мировой войны Александра Пучкова призывают в армию и откомандировывают в распоряжение Российского общества Красного Креста, где он проходит службу в качестве военного врача. По словам академика Н. Н. Бурденко, работавшего вместе с Пучковым в Красном Кресте, он уже тогда проявил себя как блестящий организатор.

После Октябрьской революции Пучкова избрали председателем армейского комитета Красного Креста. Там он прослужил до марта 1918 года, когда его эвакуировали в Москву по болезни. После выздоровления Пучков продолжил работу в Красном Кресте. В августе отправился добровольцем в Красную Армию. С 1918 по 1921 год служил начальником военно-санитарных поездов

В 1921 году в Москве началась эпидемия сыпного тифа и Пучкову поручили организовать работу санитарных автомобильных отрядов для быстрой эвакуации сыпнотифозных больных. Сперва Пучков создал отдел перевозки больных при Мосгорздравотделе. Позднее им был организован Центральный городской пункт перевозки больных. В 1923 году он возглавил станцию «Скорой помощи» при Шереметьевской больнице. Пучковым были разработаны основные принципы организации скорой медицинской помощи, которые были внедрены не только в Москве, но и в ряде других городов страны.

С 1921 по 1926 году по просьбе заместителя наркома здравоохранения З. П. Соловьёва он совмещал работу в «Скорой помощи» с деятельностью в Российском Красном Кресте. В 1930 году под руководством Пучкова была открыта новая подстанция «Скорой помощи» при 1-й Градской больнице. С 1933 по 1940 год в Москве открылось ещё 6 подстанций. В годы Великой Отечественной войны Пучков руководил работой выездных бригад для оказания помощи пострадавшим от бомбардировок.

В 1946 году Александр Пучков получил степень доктора медицинских наук. Пучков принимал участие в разработке нового типа автомобиля «Скорой помощи». Он часто посещал конструкторское бюро и консультировал инженеров. Александр Сергеевич Пучков умер 9 июля 1952 года.